Dérivée d'une inverse

Propriété

Soit  `u`  une fonction dérivable sur un intervalle  `I` de `\mathbb R` sur lequel elle ne s'annule pas. Alors la fonction \(f=\dfrac 1 u\)  est dérivable sur  `I`  et sa dérivée est donnée, pour tout  `x` dans  `I` , par \(f'(x)=-\dfrac{u'(x)}{(u(x))^2}\) .

 Démonstration

Soit  `a\inI` . Pour tout réel  `h\ne0`  tel que `a+h\in I` , on a : 

\(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{(\frac{1}{u})(a+h)-(\frac{1}{u})(a)}{h}=\frac{\frac{1}{u(a+h)}-\frac{1}{u(a)}}{h}=\dfrac{1}{\color{black}{h}}\times \dfrac{\color{red}{u(a)-u(a+h)}}{\color{blue}{u(a+h)u(a)}}\)

`` soit, en réorganisant les termes, 

\(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{\color{red}{-1}}{\color{blue}{u(a+h)u(a)}}\times \dfrac{\color{red}{u(a+h)-u(a)}}{\color{black}{h}}\)

Or,  `u`  est dérivable en  `a`  donc on a :  \(\lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{u(a+h)-u(a)}{h}=u'(a)\)  et  \(\lim\limits_{h \rightarrow 0} u(a+h)u(a)=(u(a))^2\) . 

Ainsi,  \(\lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{-1}{u^2(a)}\times u'(a)\) . 

La fonction  `f=1/u`  est donc dérivable pour tout  `a\in I`  et  \(f'(a)=-\dfrac{u'(a)}{(u(a))^2}\) .